La început de an: Un rezultat interesant (și ușor bizar) de teoria modelelor …

a fost demonstrat de Joel Hamkins (profesor de logică la Universitatea Notre Dame, South Bend, Indiana, Statele Unite) împreună cu coautorii: există un model topologic al aritmeticii Peano în mulțimea numerelor raționale . Altfel spus, exista o bijectie intre si astfel incat interpretarea funcției succesor pe (si, de fapt, adunarea și înmulțirea numerelor naturale) sunt funcții continue pe .

Ca mai întotdeauna în matematică, rezultatele sunt mai complexe/nuanțate, puteți afla detaliile urmărind videoclip-ul de mai jos. Pe de altă parte, demonstrația teoremei principale este destul de simplă (și frumoasă, mi se pare), și poate fi înțeleasă de orice matematician. Nu vreau să vă răpesc plăcerea de a o afla, așa că n-o să vă povestesc toți pașii demonstrației. Esența argumentului este, însă, una surprinzător de intuitivă, una care poate fi înțeleasă și de nematematicieni: să presupunem că vreau să adun/înmulțesc două numere naturale și pe care nu le cunosc complet. Dacă mă înteresează să cunosc doar ultimele (să zicem) trei cifre ale sumei/produsului, atunci este suficient să știu ultimele trei cifre ale lui !

Rezultatul ridică, evident, multe întrebări. Eu am deja una legată de clasa funcțiilor care pot fi mapate (în felul ăsta) pe funcții continue înlatex \mathbb{Q}$. Dar despre asta poate cu altă ocazie.