Echilibrul relaţiilor, mecanicã statisticã, jocuri, statut social: o aventurã interdisciplinarã (I)

Cu o formulare doar aparent paradoxalã putem spune cã o „constantã” a organizãrii societãţii e schimbarea. Sigur, cu toţii preţuim prieteniile de o viaţã, dragostea eternã … acestea sunt insã (când le gãsim) mai curând excepţii. Societatea omeneascã e in continuu flux, organizaţiile se schimbã odatã cu vremurile, noii membri (şi plecarea unora din cei vechi) le schimbã cultura dominantã şi modul de funcţionare. Creşterea numericã duce aproape inevitabil la apariţia de opinii divergente, la dispute şi fragmentare. Noile tabere sunt rareori constante: componenţa lor evolueazã, vechii duşmani devin prieteni şi invers …

Politica româneascã oferã o ilustrare perfectã a tabloului de mai sus: din 2004 incoace cele trei mari partide (PSD, PNL, PD) au experimentat toate formulele posibile de alianţã (cu excepţia unei „mari coaliţii”). Au existat şi momente când relaţiile de adversitate erau reciproce. Aceste momente sunt de scurtã duratã: rigorile vieţii politice imping la formarea de alianţe (formale sau nu), fie la putere fie in opoziţie.

De numele psihologului austriac Fritz Heider se leagã dezvoltarea teoriei echilibrului (balanţei) social(e), un domeniu al psihologiei care modeleazã situaţii precum cele de mai sus şi, mai general, dinamica relaţiilor dintr-un grup. Teoria balanţei sociale a dat naştere unuia din primele exemple de aplicare a teoriei (matematice a) grafurilor[1] in sociologie, precursor al modelelor de tip reţea socialã atât de la modã in ziua de azi.

Elementul fundamental in analiza lui Heider este (pe urmele lui Georg Simmel) triada, un grup de trei indivizi legat prin relaţii (reprezentate prin muchii). Muchiile conţin un semn (plus sau minus) specificând relaţiile individuale (cooperare versus antagonism), presupus mutuale. Neglijând simetriile triadei patru scenarii sunt posibile:

 

Dintre acestea primele douã („armonie”, respectiv „douã tabere”) sunt „echilibrate”: ele nu conţin contradicţii „interne” care sã le afecteze evoluţia. Celelalte douã reprezintã aranjamente „instabile”, care nu pot rezista tendinţei sistemului (postulatã de teoria balanţei sociale) de a „cãuta echilibrul” prin schimbarea relaţiei intre doi din componenţii triadei.

Descrierea de mai sus este una „localã”, ea se referã doar la trei indivizi, nu la societate in ansamblu. Cum aratã insã echilibrele globale ? Rãspunsul (simplu de altfel) a fost dat in 1953 de matematicianul american Frank Harary:[2] e vorba de societatea polarizatã in douã „grupuri antagoniste”; relaţiile in interiorul grupurilor sunt pozitive, iar intre persoane din grupuri diferite sunt negative. Aceastã descriere acoperã şi situaţia „consensului” atât de iubit de unii politicieni 🙂 : pur şi simplu considerãm unul din cele douã grupuri ca fiind vid.

Teoria lui Heider (despre a carei relevanţã empiricã mi-am propus sã vorbesc mai târziu) are cel puţin douã defecte: in primul rând ea nu e o teorie dinamicã, descriind doar punctele de echilibru, nu şi modul in care societatea ajunge intr-unul din ele. In al doilea rând, aşa cum am vãzut existã un numãr mare de puncte de echilibru. Teoria nu imi aratã cum sã aleg unul din aceste echilibre din mulţimea atât de largã a acestor puncte.

DINAMICA BALANŢEI SOCIALE

Un model dinamic al relaţiilor interumane bazat pe teoria lui Heider a fost studiat recent de cãtre fizicienii Tibor Antal, Paul Krapivsky şi Sid Redner.

Dacã vã intrebaţi ce legãturã are fizica cu modelarea reţelelor sociale … un prim rãspuns este cã, in ziua de azi cel puţin, physics is what physicists do 🙂 Un al doilea rãspuns (mai serios) e cã specificarea matematicã a modelului de mai sus „seamãnã”cu unele modele studiate in mecanica statisticã, precum modelul Ising (despre care o sã vorbesc, poate, altã datã). Deloc in ultimul rând, fizicienii cautã in modelele inspirate din alte domenii (informaticã, economie, ştiinţe sociale) tipurile de comportament critic cu care sunt obişnuiţi in mecanica statisticã.

Cum funcţioneazã modelul lui Antal, Krapivsky şi Redner ? El are mai multe variante, o sã mã refer doar la una din ele. Plecãm cu un graf complet cu N vârfuri, o reţea cuprinzând toate legãturile intre noduri, şi o configuraţie iniţialã oarecare (ne putem gândi la o configuraţie aleatoare, sau la  „societatea atomizatã”, in care toate nodurile „se urãsc”).

Atâta vreme cât existã triunghiuri neechilibrate alegem un astfel de triunghi T la intâmplare. Sunt douã situaţii posibile :

  • triunghiul conţine trei muchii cu semnul -. In acest caz dinamica e clarã : alegem o muchie a lui T la intâmplare şi ii schimbãm semnul.
  • triunghiul conţine douã muchii cu semnul + şi una cu -. Modelul are un parametru p\in [0,1], probabilitatea de a alege unica muchie cu -, schimbându-i semnul in + In caz contrar (care are loc cu probabilitate 1-p) alegem la intâmplare una din cele douã muchii cu semnul +, schimbând semnul in -

Intuitiv, cu cât p e mai mare cu atât favorizãm „stãrile cu +„. Un lucru asupra cãruia trebuie sã atenţia e faptul cã echilibrând un triunghi poate dezechilibra alte triade care conţin muchia al cãrui semn se schimbã. Dinamica e un exemplu de lanţ Markov, unui a cãrui „traiectorie medie” se poate calcula destul de bine cu o ecuaţie diferenţialã. Concluzia este urmãtoarea:

  • punctul important, in jurul cãruia comportamentul se schimbã, este p =\frac{1}{2}.
  • pentru p > \frac{1}{2} starea finalã e „paradisul” in care (aproape) toatã lumea se inţelege cu (aproape) toatã lumea.
  • pentru p<\frac{1}{2} starea finalã conţine un procent de \frac{1}{[\sqrt{3(1-2p)}+1]} de legãturi „de prietenie”. Procentul exact nu conteazã decât pentru a observa cã procentul de legãturi „de urã” devine zero in punctul p=\frac{1}{2} şi se comportã ca o funcţie neanaliticã in acest punct, semn in general al unei tranziţii de fazã.
  • un alt fel de a exprima concluzia precedentã este urmãtorul: pentru p<\frac{1}{2} sistemul se fragmenteazã (aşa cum am vãzut) in douã grupuri antagonice fiecare având un numãr linear de membri. Mãrimea grupurilor (ca şi componenţa lor) fluctueazã, ramânând totuşi aproximativ constantã.
  • când p se apropie de \frac{1}{2} grupul „mai mic” se micşoreazã (iar celãlalt creşte), pânã când, la p=\frac{1}{2} grupul „dizident” dispare şi este incorporat in „paradis” 🙂

Analiza de mai sus poate fi parafrazatã „calitativ” in felul urmãtor: societatea evolueazã spre o stare „echilibratã” cu doi poli: putere/opoziţie. Factorul determinant in determinarea „procentelor” puterii/opoziţiei este probabilitatea de a rezolva situaţiile instabile din societate prin ceartã, respectiv consens 🙂

Pretty neat, huh ? Da, e insã doar matematicã (fizicã ?) frumoasã, fãrã mare legãturã cu realitatea. Totuşi aşa cum argumenteazã Sid Redner in prezentarea video de aici (INDISPONIBILÃ PENTRU MOMENT), modelul e interesant pentru cã e un fel de „model Ising” pentru teoria balanţei sociale, altfel spus cel mai simplu model posibil (şi analizabil) care are un comportament „interesant”. Chiar dacã asta presupune uneori considerarea unor vaci sferice 🙂

DINAMICA INTR-O SOCIETATE FINITÃ

La drept vorbind analiza de mai sus minte intrucâtva: o stare staţionarã existã doar dacã sistemul este infinit. Pentru un sistem finit o stare perfect echilibratã va fi atinsã (cu probabilitate mare) intr-un timp finit. Dincolo de acest punct nicio evoluţie nu mai este posibilã. E drept, putem calcula cu formulele de mai sus caracteristicile stãrii finale atinse.

Ce este interesant este faptul cã (precum mai intotdeauna in domeniul tranziţiilor de fazã) tranziţia se reflectã şi in timpul necesar atingerii acestei stãri. Acest timp este:

  • foarte rapid (logaritmic in numãrul participanţilor „in vecinãtatea paradisului” p>\frac{1}{2}.
  • extrem de lent (exponenţial in pãtratul numãrului de participanţi) pentru p< \frac{1}{2}. Acest lucru face ca diferenţa descrisã mai sus cu cazul unei socieãţi infinite sã fie neesenţial: pur ş simplu timpul necesar pentru observarea unor diferenţe este astronomic.
  • cel mai interesant timp se gãseşte la tranziţia de fazã. El are un ordin de mãrime polinomial (mai precis N^{4/3}) când p=1/2.[3]

Logaritmic, polinomial, exponenţial. Toate se obţin variind in mod infim un singur parametru, p, in jurul valorii 1/2. Dacã nu sunteţi familiari cu fizica statisticã poate pãrea uimitor.

AKR mai studiazã o variantã „constrânsã” a dinamicii de mai sus, in care nu efectuãm o tranziţie decât dacã micşoreazã numãrul de triunghiuri neechilibrate. Cu aceastã regulã nu mai putem garanta faptul cã vom atinge intotdeauna o stare „complet echilibratã”: sistemul se va bloca adeseori intr-un „minim local”, pentru care orice mutare rezultã in creşterea numãrului de triade neechilibrate.

Dar despre structura acestor stãri „blocate” şi alte rezultate din matematica triadelor voi vorbi intr-un episod viitor 🙂

NOTE:

  • [INAPOI] In matematica un graf este un concept suspect de simplu: o multime de puncte conectate prin muchii. Cel mai adesea desenul explicit al muchiilor nu conteazã, ci doar faptul ca ele existã sau nu. In grafuri orientate muchile au o direcţie; intr-un astfel de graf muchiile A\rightarrow B si B\rightarrow A nu sunt identice.
  • [INAPOI] Pe care am avut ocazia sã-l intâlnesc in 2001, la Constanţa.
  • [INAPOI] De ce 4/3 ? Aflaţi din lucrarea citatã.
  • Anunțuri
    Acest articol a fost publicat în Eseuri, popularizarea_ştiinţei. Pune un semn de carte cu legătura permanentă.

    Lasă un răspuns

    Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

    Logo WordPress.com

    Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

    Poză Twitter

    Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

    Fotografie Facebook

    Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

    Fotografie Google+

    Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

    Conectare la %s