Din ecosistemul științei: Cum folosesc matematica fizicienii

Fizicienii și matematicienii trăiesc de multe ori in  lumi diferite  când e vorba de folosirea matematicii. Mantra matematicienilor din secolele 20 și 21 este „demonstrați, demonstrați, demonstrați”. Ca intr-un banc recent, nu sunt pregătiți să afirme faptul că o oaie este neagră atâta timp cât i-au văzut doar o singură parte 🙂

Prin contrast, fizicienii (dar și, uneori, matematicieni de geniu de tip Euler sau Ramanujan) folosesc de multe ori metoda „orice merge”  🙂

Ca să ințelegeți despre ce vorbesc  vă invit să vedeți ce se intâmplă in videoclip-ul de mai jos.

M-am mai intâlnit cu genul acesta de a face „calcule” in aplicații ale așa-numitei „replica method” in fizica statistică, intr-o zonă care se ocupă cu studiul unor sisteme formate din mai multe componente individuale (spini) cuplate prin interacțiuni cu coeficienți cu valori aleatoare- aceste sisteme se numesc in limba engleză spin glasses. Un  singur, faimos, exemplu mai jos:

Să considerăm un graf compus din n băieți și n fete. Să presupunem că costul C_{i,j} pe care trebuie să il plătim  pentru a cupla băiatul i cu fata j (ii putem cupla pe oricare doi) este o variabilă aleatoare uniform distribuită in intervalul [0,1] 🙂 Cum se comportă valoarea medie a cuplajului de cost minim (definit drept suma costurilor individuale ale muchiilor) când n\rightarrow \infty ?

In primul rând poate fi ușor surprinzător că valoarea medie nu crește proporțional cu n: ne-am putea inchipui că in medie fiecare muchie din cuplaj are costul 1/2, prin urmare in medie cuplajul optim ar trebui să  crească proporțional cu n.

Acest lucru nu este adevărat: prima fată are de ales dintre n băieți, si poate alege unul cu cost considerabil mai mic decât \frac{1}{2} !

S-a putut arăta riguros pe la inceputul anilor ’80 că acest cost mediu e mărginit superior de o constantă (de exemplu 3). Prin urmare nu mai era atât de ciudată ipoteza că costul optim tinde (când n\rightarrow \infty) către o constantă \gamma. Dar care e această constantă \gamma ?

Răspunsul, cumva surprinzător, \gamma = \frac{\pi^2}{6}, a fost dat de doi fizicieni, Marc Mézard și Georgio Parisi, in 1987 cu metode de fizică statistică (!). O demonstrație riguroasă ii aparține lui David Aldous și a venit abia la inceputul anilor 2000.

Lucrurile nu s-au oprit aici: dacă \frac{\pi^2}{6} v-a dus cu gândul la \zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots + \frac{1}{n^2}+\ldots , ei bine, nu vă inșelați: coincidența cu suma de mai sus nu e doar asimptotică. Tot Giorgio Parisi a conjecturatchiar pentru un n finit, costul optim este exact 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots + \frac{1}{n^2} !

Și acesată ipoteză s-a dovedit adevărată, iar lucrări care explică parțial „ce se intâmplă” au apărut recent in Annals of Mathematics.

*

Dacă n-ați fost șocați de exemplul precedent inseamnă că simțim destul de diferit apropo de știință: in definitiv a cupla băieți și fete cu cost total minim n-are aparent nimic de-a face cu mecanica statistică !

Nu mă pricep la string theory ca să spun la ce sunt utile (pentru fizică) calculele din videoclip. Dar, ca și in exemplul precedent in spatele matematicii „voodoo” din prezentare se află matematică serioasă, leagată de numele unor matematicieni renumiți.

Mai general exemplul pe care l-am dat ilustrează o analogie care mă obsedează in ultima vreme (legată de o a doua „utopie științifică” a zilelor noastre): știința nu seamănă in mod natural cu o piață, mai curând cu un ecosistem.

Să luăm conlucrarea precedentă dintre fizicieni și matematicieni. Niciunul din ei n-ar fi putut descoperi ușor tot adevărul: in acest caz fizicienii ne-au spus ce se intâmplă. De ce se intâmplă ce se intâmplă ? Aceasta e o intrebare la care, măcar in parte, și-au adus contribuția și matematicienii.

Putem afirma că vreuna din cele două perspective e „mai performantă” și „o va goni de pe piață pe cealaltă” ? Nu cred: Mai curând avem parte de un „lanț trofic” al ideilor, cu fizicienii hrănindu-i (științific) pe matematicieni și primind inapoi o ințelegere mult mai profundă a modelelor pe care le-au inventat. Grija pentru detalii a matematicienilor ii face uneori să descopere detalii care le-au scăpat altor cercetători (două exemple – cel de-al doilea despre algoritmul GCD binar, din păcate disponibil doar in cache-ul google, despre teorie versus  experimental in informatica teoretică). Dar nu se descurcau fără insight-ul inițial al lui Mézard și Parisi …

Poate că, in ar merita să ii punem pe managerii noștri științifici atât de inamorați de piața liberă și „optim” să citească „Originea Speciilor” și cărțile lui Jared Diamond. Poate vor realiza că natura (cu care știința semănă mai mult decât ne dăm seama) n-a inventat mecanismele de piață, iar evoluția e una nu neapărat a indivizilor ci a speciei, se intâmplă nu  dictată de mâini invizibile care să ghideze global procesul, ci cu incercări, erori, și adaptări locale. Și că (atâta vreme cât nu e vorba de „dinozauri”, de ecosisteme științifice izolate de circuitul  global al științei – sau de practicile asociate), diversitatea e bună și nu e atât de clar care din „organismele științifice” vor supraviețui à la longue ?

NOTĂ ULTERIOARĂ: Se pare că am comentat (involuntar) un videoclip „la ordinea zilei” 🙂 : New York Times, azi 4 februarie. De asemenea (credit Steven Strogatz, pe Twitter) blogul Scientific American. Vezi și un mesaj mai vechi al lui Terry Tao in care se discută background-ul matematic.

Anunțuri
Acest articol a fost publicat în lumea in care trãim, politica_ştiinţei, popularizarea_ştiinţei. Pune un semn de carte cu legătura permanentă.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s